具有渐近奇异噪声的 PAM 中的矩间歇性

设 $\xi$ 为 $\mathbb R^d$ 上的奇异高斯噪声,其为白噪声、分数噪声或具有 Riesz 协方差核;特别地,存在缩放参数 $\omega>0$ 使得对所有 $c>0$,$c^{\omega/2}\xi(c\cdot)$ 与 $\xi$ 同分布。设 $(\xi_\varepsilon)_{\varepsilon>0}$ 为光滑 mollification 序列,使得当 $\varepsilon\to0$ 时 $\xi_\varepsilon\to\xi$。我们研究以噪声 $\xi_\varepsilon$ 驱动的抛物 Anderson 模型(PAM)的矩在 $\varepsilon\to0$ 时的渐近行为,分别考虑大时间(即 $t\to\infty$)与固定时间 $t$。该方法使得以统一方式研究正则与奇异噪声下 PAM 的矩成为可能,并能在两种情形间插值。作为主结果的推论,我们得到如下结论:$\textbf{(1)}$ 当 $\xi$ 为亚临界(即 $0<\omega<2$)时,我们的结果推广了已知的以噪声 $\xi$ 驱动的 Stratonovich PAM 的大时间矩与尾渐近。我们的证明方法厘清了在这些矩渐近中出现的变分问题最大化子(称为 Hartree 基态)在描述间歇性几何中的作用。我们借此机会证明分数核 Hartree 基态的存在并研究其性质,我们相信这具有独立意义。$\textbf{(2)}$ 当 $\xi$ 为临界或超临界(即 $\omega=2$ 或 $\omega>2$)时,我们的结果对以噪声 $\xi$ 驱动的 Stratonovich PAM 中观测到的矩爆破现象提供了新解释。即,我们揭示后者与以噪声 $\xi_\varepsilon$ 驱动的 PAM 中当 $\varepsilon\to0$ 时在 $\textit{固定有限时间}$ $t>0$ 下发生的间歇性效应相关。