一维连续 Anderson 哈密顿量的局域化

我们研究由白噪声 ξ 驱动并赋予 Dirichlet 或 Neumann 边界条件的区间 [0,L] 上 Anderson 哈密顿量 $\mathcal{H}_L := -\partial_x^2 + \xi$ 的谱底。我们证明,当 $L\rightarrow\infty$ 时,(适当平移和重标度后的)特征值的点过程收敛到 $\mathbb{R}$ 上强度为 $e^x dx$ 的 Poisson 点过程,且(适当重标度后的)特征函数收敛到位于独立且均匀分布点上的 Dirac 质量。此外,我们证明每个特征函数的形状,以其最大值为中心重新定位并适当重标度后,由双曲余弦的逆给出。我们还证明特征函数从其局域化中心以显式速率指数衰减,并获得关于这些特征函数的零点和局部极大值的非常精确的信息。最后,我们证明 Dirichlet 和 Neumann 情形下的特征值/特征函数彼此非常接近并收敛到相同的极限。