一维Anderson哈密顿量的离域相

我们引入一个随机微分算子，称之为$\mathtt{CS}_\tau$算子，其谱由Kritchevski、Valkó和Virág(2012)引入的$\mbox{Sch}_\tau$点过程给出，其本征向量与Rifkind和Virág(2018)的描述相符。该算子作用于区间$[0,1]$上取值于$\mathbf{R}^2$的函数，形式为：$$2 \begin{pmatrix} 0 & -\partial_t \\ \partial_t & 0 \end{pmatrix} + \sqrt{\tau} \begin{pmatrix} d\mathcal{B} + \frac1{\sqrt 2} d\mathcal{W}_1 & \frac1{\sqrt 2} d\mathcal{W}_2\\ \frac1{\sqrt 2} d\mathcal{W}_2 & d\mathcal{B} - \frac1{\sqrt 2} d\mathcal{W}_1\end{pmatrix}\,,$$其中$d\mathcal{B}$、$d\mathcal{W}_1$与$d\mathcal{W}_2$为独立白噪声。继而，我们研究线段$[0,L]$上具白噪声势$dB$的Anderson哈密顿量$\mathcal{H}_L := -\partial_t^2 + dB$在$L\to\infty$时谱的高能部分。我们证明，围绕能量水平$E \sim L/\tau$重新中心化并作酉变换的算子$\mathcal{H}_L$，当$L\to\infty$时在适当意义下依律收敛于$\mathtt{CS}_\tau$。这得以回答Rifkind和Virág(2018)关于$\mathcal{H}_L$本征向量行为的猜想。我们的方法也解释了该算子如何作为$\mathcal{H}_L$极限出现。最后我们表明在更高能量水平处，Anderson哈密顿量与未扰动拉普拉斯算子$-\partial_t^2$相符（关于$L$渐近）。在另一文中已证，在远小于$L$的能量水平处谱具泊松统计的局域化：本文因而辨识出Anderson哈密顿量的离域相。