量子霍尔效应哈密顿量的离散谱 I. 单调边缘势

我们考虑未受扰动的算子 $H_0 : = (-i \nabla - A)^2 + W$，在 $L^2(\R^2)$ 中自伴。这里 $A$ 是产生恒定磁场 $b>0$ 的磁势，边缘势 $W$ 是一个非递减、非常数的有界函数，仅依赖于 $(x,y) \in \R^2$ 的第一个坐标 $x \in \R$。那么 $H_0$ 的谱具有能带结构并且是绝对连续的；此外，假设 $\lim_{x \to \infty}(W(x) - W(-x)) < 2b$ 意味着 $H_0$ 存在无穷多个谱隙。我们考虑受扰动的算子 $H_{\pm} = H_0 \pm V$，其中电势 $V \in L^{\infty}(\R^2)$ 非负且在无穷远处衰减。我们研究了 $H_\pm$ 在 $H_0$ 的谱隙中离散谱的渐近分布。我们引入了一个有效哈密顿量，它控制着主要的渐近项；该哈密顿量涉及一个伪微分算子，其广义反 Wick 符号等于 $V$。进一步，我们将注意力限制在具有紧支集和恒定符号的扰动 $V$ 上。我们建立了一个关于 $V$ 支集的几何条件，该条件保证了 $H_{\pm}$ 在 $H_0$ 的任何谱隙中特征值的有限性。在违反此条件的情况下，我们证明，一般情况下，$H_+$（分别地，$H_-$）的无穷特征值级数收敛到给定谱隙的左（分别地，右）边缘是高斯型的。