具有集中于曲线附近奇异势的二维薛定谔算子

我们研究 $\mathbb{R}^2$ 中的薛定谔算子 $H_\varepsilon=-\Delta +W+V_\varepsilon$，其中短程势 $V_\varepsilon$ 局域在一条光滑闭曲线 $\gamma$ 附近。算子 $H_\varepsilon$ 可视为启发式哈密顿量 $H=-\Delta+W+a\partial_\nu\delta_\gamma+b\delta_\gamma$ 的近似，其中 $\delta_\gamma$ 是支撑在 $\gamma$ 上的狄拉克 $\delta$-函数，$\partial_\nu\delta_\gamma$ 是其在 $\gamma$ 上的法向导数。假设算子 $-\Delta +W$ 仅有离散谱，我们分析 $H_\varepsilon$ 的本征值和本征函数的渐近行为。当 $\varepsilon\to 0$ 时极限中出现的本征函数在 $\gamma$ 上的传输条件 $u^+=\alpha u^-$、$\alpha\, \partial_\nu u^+-\partial_\nu u^-=\beta u^-$ 揭示了 $H_\varepsilon$ 的谱性质与 $\gamma$ 的几何之间的非平凡联系。