交换子、特征值间隙与薛定谔算符理论中的平均曲率

利用交换子关系研究作用于光滑紧$d$维流形$M$上的函数的薛定谔哈密顿量$H = -\Delta + V({x})$的谱，其中$M$浸入在$\bbr^{\nu}$中，$\nu \geq d+1$。这里$\Delta$表示Laplace-Beltrami算符，实值势能函数$V(x)$通过乘法作用。流形$M$可以是完备的，也可以有边界，在有边界时施加Dirichlet边界条件。发现流形的平均曲率对$H$的谱施加了严格约束。进一步，发现势与平均曲率平方成正比的薛定谔算符扮演特殊的代数角色：$$H_{g} := -\Delta + g h^2,$$其中$\nu = d+1$，$g$为实参数，且$$h := \sum\limits_{j = 1}^{d} {\kappa_j},$$其中$\{\kappa_j\}$，$j = 1, ..., d$表示$M$的主曲率。例如，由定理\ref{thm3.1}与推论\ref{cor4.5}，任意薛定谔算符的每个特征值间隙均被一个用$H_{1/4}$表达的上界所界。这些定理的“等周”部分陈述：这些界对基本特征值间隙以及无穷多个其他特征值间隙是尖锐的。