二维准周期势薛定谔算子的扩展态

我们考虑二维准周期势 $V(\vec x)$ 的薛定谔算子 $H=-\Delta+V(\vec x)$。我们证明 $H$ 的绝对连续谱包含一个半轴，并且在该半轴的每一点存在一族广义本征函数，具有以下性质：首先，本征函数在高能区域接近平面波 $e^{i\langle \vec \varkappa,\vec x\rangle}$。其次，对应于这些本征函数的动量空间 $\vec \varkappa$ 中的等能曲线呈带有空洞的略微扭曲的圆（Cantor 型结构）。我们发展了动量空间中的多尺度分析新方法来证明这些结果。该结果基于先前关于拟周期多调和算子 $(-\Delta)^l+V(\vec x)$（$l>1$）的论文 [1]。我们处理了 $l=1$ 情形下出现的技术复杂性。然而，本文是自包含的，无需熟悉 [1] 即可阅读。