关于 $\mathbb{T}^d$ 上薛定谔算子的谱：一种正规形方法

本文研究算符 \begin{equation} \label{ope} H:=(-\Delta)^{M/2}+\mathcal{V}\ , \quad M>0\ , \end{equation} 在 $L^2(\mathbb{R}^d/\Gamma)$ 上的谱，其中 $\Gamma$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的最大维数格点，且 $\mathcal{V}$ 是阶严格小于 $M$ 的伪微分算符。我们证明它的大部分特征值允许渐近展开 \begin{equation} \label{sim} \lambda_\xi=|\xi|^M+Z(\xi)+O(\left|\xi\right|^{-\infty})\ , \end{equation} 其中 $Z$ 是 $C^\infty(\mathbb{R}^d)$ 函数（符号），且 $\xi\in\Gamma^*$（$\Gamma$ 的对偶格点）。