Heisenberg 群上的 Szegő 型极限定理

设 $\mathcal{H}=-\Delta_{\mathbb{H}}+V$ 为 Heisenberg 群 $\mathbb{H}^n$ 上的 Schrödinger 算子，其中 $\Delta_{\mathbb{H}}$ 是 $\mathbb{H}^n$ 上的全 Laplace 算子，$V$ 是正的光滑势，有下界且当 $|g|$ 较大时如 $|g|^\kappa, \kappa>0$ 增长。设 $\mathcal{P}_{r}$ 为 $L^2(\mathbb{H}^n)$ 到 $\mathcal{H}$ 的特征值 $\leq r$ 的特征函数空间的正交投影；设 $A$ 为 $L^2(\mathbb{H}^n)$ 上相对于算子 $1+|\lambda|H+V(g), g\in \mathbb{H}^n, \lambda \in \mathbb{R}^*$ 的 0 阶自伴伪微分算子，其符号为 $a(g, {\lambda})$，其中 $H$ 为 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上的 Hermite 算子，则 \begin{align*} \lim_{r\to\infty} \frac{tr~{f(\mathcal{P}_rA\mathcal{P}_r)}}{tr~(\mathcal{P}_r)} &= \lim_{r\to\infty} \frac{\int_{G^{r}}f(a_{g, {\lambda}}(\xi, x)) \,d\xi\,dx \,dg\,d\mu(\lambda) }{\int_{G^{r}} \,d\xi\,dx \,dg\,d\mu(\lambda)}, \end{align*} （假设其中一个极限存在），其中 $G^{r}=\{(g, \lambda, \xi, x)\in \mathbb{H}^n \times \mathbb{R}^*\times \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n : |\lambda |(1+|\xi| ^2+|x|^2)+V(g)\leq r \}$，$a(g, {\lambda})=Op^W(a_{g, {\lambda}})$，且 $\mu(\lambda)$ 为 Heisenberg 群上的 Plancherel 测度。我们进一步证明，在伪微分算子 $A$ 的紧扰动或 Schrödinger 算子 $\mathcal{H}$ 受 $L^2(\mathbb{H}^n)$ 上有界自伴算子扰动下，上述右边的极限保持不变。