三维空间中由开弧支撑的相互作用下薛定谔算子的强耦合渐近

我们考虑在 $\R^3$ 中由长度为 $L$ 的有限曲线 $\Gamma$ 支撑的、具有强吸引奇异相互作用的薛定谔算子。我们证明，若 $\Gamma$ 是 $C^4$ 光滑的且具有正则端点，则该算子的第 $j$ 个特征值在耦合参数 $\alpha\to\infty$ 时具有渐近展开 $\lambda_j (H_{\alpha,\Gamma})= \xi_\alpha +\lambda _j(S)+\mathcal{O}(\mathrm{e}^{\pi \alpha })$，其中 $\xi_\alpha = -4\,\mathrm{e}^{2(-2\pi\alpha +\psi(1))}$，而 $\lambda _j(S)$ 是 $L^2(0,L)$ 上带有区间端点狄利克雷条件的薛定谔算子 $S=-\frac{\D^2}{\D s^2 }- \frac14 \gamma^2(s)$ 的第 $j$ 个特征值，这里 $\gamma$ 是 $\Gamma$ 的曲率。