平面回路上强 $\delta'$ 相互作用的谱渐近

我们考虑 $L^2(\R^2)$ 中的一个广义 Schr"odinger 算子，该算子具有吸引性强奇异 $\delta'$ 型相互作用，其特征由耦合参数 $\beta>0$ 刻画，并支撑在一个长度为 $L$、无自交的 $C^4$ 光滑闭合曲线 $\Gamma$ 上。研究表明，在强耦合极限 $\beta\to 0_+$ 下，本征值的数量表现为 $\frac{2L}{\pi\beta} + \OO(|\ln\beta|)$；此外，同一极限下第 $j$ 个本征值的渐近行为为 $-\frac{4}{\beta^2} +\mu_j+\OO(\beta|\ln\beta|)$，其中 $\mu_j$ 是 $L^2(0,L)$ 上具有周期性边界条件且势能为 $-\frac14 \gamma^2$ 的 Schr"odinger 算子的第 $j$ 个本征值，$\gamma$ 为 $\Gamma$ 的有符号曲率。