关于支撑在超曲面上的具有 $\delta$ 和 $\delta'$ 相互作用的 Schr"odinger 算子的特征值不等式

我们考虑 $L^2 (\mathbb{R}^d)$ 中的自伴 Schr"odinger 算子，其分别具有强度为 $\alpha$ 的 $\delta$ 相互作用和强度为 $\beta$ 的 $\delta'$ 相互作用，且这些相互作用支撑在一个超曲面上，其中 $\alpha$ 和 $\beta^{-1}$ 是有界实值函数。已知不等式 $0 < \beta \leq 4/\alpha$ 意味着这两个算子在本质谱底以下的特征值之间存在不等关系。我们证明，只要 $\beta < 4 / \alpha$ 在超曲面的某个非空开子集上成立，则该特征值不等式是严格的。此外，我们指出了一些特殊的相互作用支撑几何结构，如折线或无限锥，对于这些结构，即使在边界情况 $\beta = 4 / \alpha$ 下，特征值的严格不等式依然成立。