弱形变平面上$\delta$-相互作用诱导束缚态的渐近行为

本文考虑三维Schrödinger算子，其带有强度为$\alpha > 0$的$\delta$-相互作用，支撑在由映射$\mathbb{R}^2\ni x\mapsto (x,\beta f(x))$参数化的无界曲面上，其中$\beta \in [0,\infty)$且$f\colon \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$，$f\not\equiv 0$，为$C^2$光滑且紧支撑的函数。支撑相互作用的曲面可视为平面的局部形变。已知该Schrödinger算子的本质谱与$[-\frac14\alpha^2,+\infty)$重合。我们证明，对所有充分小的$\beta > 0$，其离散谱非空且由唯一的单重特征值组成。此外，我们得到了在$\beta \rightarrow 0+$极限下该特征值的渐近展开。特别地，当$\beta\rightarrow 0+$时，该特征值以指数速度趋于$-\frac14\alpha^2$。