关于 $\mathbb{R}^2$ 中非闭合曲线上支撑的弱吸引 $\delta^\prime$-相互作用束缚态的缺失

设 $\Lambda\subset\mathbb{R}^2$ 为一条非闭合的分段 $C^1$ 曲线，其要么是有界且带有两个自由端点，要么是无界且带有一个自由端点。设 $u_\pm|_\Lambda \in L^2(\Lambda)$ 为 Sobolev 空间 $H^1({\mathbb R}^2\setminus \Lambda)$ 中的函数 $u$ 在 $\Lambda$ 两个面上的迹。我们证明，对于一大类 $\Lambda$ 的形状，若强度 $\omega \in L^\infty(\Lambda;\mathbb{R})$ 逐点被一个用 $\Lambda$ 显式表达的严格正函数所控制，则支撑在 $\Lambda$ 上且具有 $\delta^\prime$-相互作用的 Schr"odinger 算子 $\mathsf{H}_\omega^\Lambda$（关联于二次型 $$H^1(\mathbb{R}^2\setminus\Lambda)\ni u \mapsto \int_{\mathbb{R}^2}\big|\nabla u \big|^2 \mathsf{d} x - \int_\Lambda \omega \big| u_+|_\Lambda - u_-|_\Lambda \big|^2 \mathsf{d} s$$）没有负谱。此外，若区域 $\mathbb{R}^2\setminus\Lambda$ 是准锥形的，我们证明 $\sigma(\mathsf{H}_\omega^\Lambda) = [0,+\infty)$。对于我们类中的有界曲线 $\Lambda$ 和非变化的相互作用强度 $\omega\in\mathbb{R}$，我们推导出存在常数 $\omega_* > 0$，使得对于所有 $\omega \in (-\infty, \omega_*]$ 都有 $\sigma(\mathsf{H}_\omega^\Lambda) = [0,+\infty)$；通俗地说，在弱耦合机制下束缚态是缺失的。