非线性扰动 Hardy-Schrödinger 问题的存在性结果：局部与非局部情形

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 为内部含零的光滑有界区域 $0 \in \Omega$。我们固定 $0 < \alpha \le 2$ 与 $0 \le s <\alpha$。我们研究如下与 Hardy-Schrödinger 算子 $L_{\gamma,\alpha,}: = ({-}{ \Delta})^{\frac{\alpha}{2}}- \frac{\gamma}{|x|^{\alpha}}$ 在 $\Omega$ 上相关的扰动问题存在正解的一个充分条件：\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rl} \displaystyle ({-}{ \Delta})^{\frac{\alpha}{2}}u- \gamma \frac{u}{|x|^{\alpha}} - \lambda u= {\frac{u^{2_{\alpha}^*(s)-1}}{|x|^s}}+ h(x) u^{q-1} & \text{in } {\Omega}\\ u=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & \text{in } \mathbb{R}^n \setminus \Omega, \end{array}\right. \end{equation*} 其中 ${2_{\alpha}^*(s)}:=\frac{2(n-s)}{n-{\alpha}},$ $\lambda \in \mathbb{R}$, $h \in C^0(\overline{\Omega}),$ $h \ge 0,$ $q \in (2, 2^*_\alpha)$ 且 $2^*_\alpha:=2^*_\alpha(0),$ 以及 $\gamma < \gamma_H(\alpha),$ 后者为 $\mathbb{R}^n$ 上 Hardy 不等式的最佳常数。我们证明在 $( - \infty, \gamma_H(\alpha))$ 中存在一个阈值 $\gamma_{crit}(\alpha)$ ，使得只要 $\gamma \le \gamma_{crit}(\alpha),$ 上述问题的解的存在性就由非线性扰动 $(即 h(x) u^{q-1})$ 保证；而当 $\gamma_{crit}(\alpha)<\gamma <\gamma_H(\alpha)$ 时，它由区域的几何与扰动非线性的大小之间的微妙组合所决定。