Hardy-Schrödinger算子的Sobolev不等式：极值与临界维数

在这篇综述性论文中，我们考虑定义在$R^n$的光滑区域$\Omega$上且$0\in\bar{\Omega}$的Hardy-Schrödinger算子$-\Delta -\gamma/|x|^2$，并描述奇点$0$的位置（无论是在$\Omega$内部还是边界上）如何影响其分析性质。我们通过考虑最优Hardy、Sobolev和Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式来比较这两种情形。后者可改写为：对所有$u\in H^1_0(\Omega)$，有$C(\int_{\Omega}\frac{u^{p}}{|x|^s}dx)^{\frac{2}{p}}\leq \int_{\Omega} |\nabla u|^2dx-\gamma \int_{\Omega}\frac{u^2}{|x|^2}dx$，其中$\gamma <n^2/4$，$s\in [0,2)$且$p:=2(n-s)/(n-2)$。我们探讨了关于最优常数$C$的显式值以及附着于这些不等式的非平凡极值的存在问题。尺度不变性导致最佳常数不依赖于区域且不可达的情形。我们考虑两种不同方法来“打破问题的齐次性”：一种方法由Brezis-Nirenberg和Janelli提出，适用于$0$在$\Omega$内部的情况，由考虑临界非线性的低阶扰动组成；另一种方法由Ghoussoub-Kang、C.S. Lin等人以及Ghoussoub-Robert提出，考虑奇点在边界上的区域。这两种方法都具有丰富的结构和挑战性问题。若$0\in \Omega$，在高维时负线性扰动已足够，而在低维时需要正的“Hardy奇点内部质量”。若奇点在边界上，则$0$附近的局部几何在高维时起关键作用，而低维时需要正的“Hardy奇点边界质量”。