多极薛定谔算子 Hardy 常数的新估计

在本文中，我们研究优化问题 $$\mu^\star(\Omega):=\inf_{u\in \semi}\frac{\into |\n u|^2 \dx}{\into V u^2 \dx}$$ 在一个合适的函数空间 $\semi$ 中。此处，$V$ 是由 $$V:=\sum_{1\leq i<j\leq n} \frac{|a_i-a_j|^2}{|x-a_i|^2|x-a_j|^2}$$ 给出的多奇异势，且所有奇异极点 $a_1, \ldots, a_n$（$n\geq 2$）要么出现在光滑开区域 $\Omega\subset \rr^N$ 的内部，要么出现在其边界上，分别对应 $N\geq 3$ 或 $N \geq 2$。对于包含所有内部奇异点的有界区域 $\Omega$，我们证明当 $n\geq 3$ 时 $\mu^\star(\Omega)>\mu^\star(\rr^N)$，而当 $n=2$ 时 $\mu^\star(\Omega)=\mu^\star(\rr^N)$（已知来自 \cite{cristi1} 的结果为 $\mu^\star(\rr^N)=(N-2)^2/n^2$）。在所有极点均位于边界的情况下，我们表明若 $\Omega$ 为球体、球体外部或半空间，则 $\mu^\star(\Omega)=N^2/n^2$。我们的结果不依赖于极点之间的距离。此外，在边界奇异点的情况下，我们得出当 $\Omega$ 为球体且 $n\geq 3$ 时，$\mu^\star(\Omega)$ 在 $\hoi$ 中可达。另外，当 $\Omega$ 为球体外部且 $N\geq 3$、$n\geq 3$ 时，$\mu^\star(\Omega)$ 在 $\semi$ 中可达；而在半空间情况下，当 $n\geq 3$ 时 $\mu^\star(\Omega)$ 在 $\semi$ 中可达。我们还分析了所谓弱 Hardy 不等式中的临界常数，该不等式刻画了确保薛定谔算子 $-\Delta -\mu V$ 谱存在下界的 $\mu$ 值范围。在内部和边界奇异点的背景下，我们分别表明弱 Hardy 不等式中的临界常数为 $(N-2)^2/(4n-4)$ 和 $N^2/(4n-4)$。