$\mathbf R^2$中包含均值为零的第一非零Neumann特征值的改进Moser-Trudinger不等式

设$\Omega$为$\mathbf R^2$中的光滑有界区域，$\lambda^{\mathsf N} (\Omega)$为$\Omega$上算子$-\Delta$的第一非零Neumann特征值。本文中，对于任意$\gamma \in [0, \lambda^{\mathsf N} (\Omega) )$，我们对满足$\int_\Omega u dx =0$和$\|\nabla u\|_2^2 -\alpha \|u\|_2^2 \leqslant 1$的任意函数$u \in H^1(\Omega)$，建立了如下改进的Moser-Trudinger不等式 $$\sup_{u} \int_{\Omega} e^{2\pi u^2} dx < +\infty$$ 此外，该上确界可由某个函数$u^*\in H^1(\Omega)$达到。这加强了Chang和Yang (J. Differential Geom. 27 (1988) 259-296) 以及Lu和Yang (Nonlinear Anal. 70 (2009) 2992-3001) 的结果。