截断拉普拉斯算子的逆 Faber-Krahn 不等式

在本文中,我们证明了完全非线性特征值问题 $$\label{eq} \left\{\begin{array}{r c l l} -\lambda_N(D^2 u) & = & \mu u & \text{in }\Omega, \ u & = & 0 & \text{on }\partial \Omega. \end{array}\right.$$ 的主特征值 $\mu_1(\Omega)$ 的逆 Faber-Krahn 不等式。这里 $\lambda_N(D^2 u)$ 表示 $u$ 的 Hessian 矩阵的最大特征值。更确切地说,我们证明对于开的有界凸域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$,不等式 $$\mu_1(\Omega) \leq \frac{\pi^2}{[\text{diam}(\Omega)]^2} = \mu_1(B_{\text{diam}(\Omega)/2})$$ 成立,其中 $\text{diam}(\Omega)$ 是 $\Omega$ 的直径。该不等式实际上蕴含一个更强的结果,即在直径约束下球的最大性。此外,我们讨论了在不同类型约束下 $\mu_1(\Omega)$ 的最小化。