Zaremba 问题的反向 Faber-Krahn 不等式

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ ($n\geq 2$) 中形如 $\Omega=\Omega_{\text{out}}\setminus \bar{\Omega_{\text{in}}}$ 的多连通区域。令 $\Omega_D$ 为 $\Omega_{\text{out}}$ 或 $\Omega_{\text{in}}$。对 $p\in (1,\infty)$ 与 $q\in [1,p]$，令 $\tau_{1,q}(\Omega)$ 为如下问题的第一特征值：\begin{equation*} -\Delta_p u =\tau \left(\int_{\Omega}|u|^q \text{d}x \right)^{\frac{p-q}{q}} |u|^{q-2}u\;\text{in} \;\Omega,\; u =0\;\text{on}\;\partial\Omega_D, \frac{\partial u}{\partial \eta}=0\;\text{on}\; \partial \Omega\setminus \partial \Omega_D. \end{equation*} 在 $\Omega_D$ 为凸的假设下，我们建立如下反向 Faber-Krahn 不等式 $$\tau_{1,q}(\Omega)\leq \tau_{1,q}({\Omega}^\bigstar),$$ 其中 ${\Omega}^\bigstar=B_R\setminus \bar{B_r}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中具有与 $\Omega$ 相同 Lebesgue 测度的同心环形区域，且满足 (i)（当 $\Omega_D=\Omega_{\text{out}}$ 时）$W_1(\Omega_D)= \omega_n R^{n-1}$，且 $(\Omega^\bigstar)_D=B_R$，(ii)（当 $\Omega_D=\Omega_{\text{in}}$ 时）$W_{n-1}(\Omega_D)=\omega_nr$，且 $(\Omega^\bigstar)_D=B_r$。此处 $W_{i}(\Omega_D)$ 为 $\Omega_D$ 的第 $i$ 个拟容度积分（quermassintegral）。我们还为证明建立了 $\mathbb{R}^n$ ($n\geq 3$) 中凸区域平行集的 Sz. Nagy 型不等式。