凸域 Neumann 本征值的量化克鲁格不等式

我们细化了克鲁格（Kr"oger，1999）为凸域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 的第 $k$ 个 Neumann 本征值 $\mu_{k,d}^*$ 所获得的尖锐上界，证明了以下不等式：对于任意 $k\in \mathbb{N}$，存在常数 $C(k,d) >0$，使得 $$D_{\Omega}^2 \mu_k(\Omega) \leq \mu_{k,d}^* - C(k,d) a_2(\Omega)^2/D_{\Omega}^2$$ 其中 $D_{\Omega}$ 为 $\Omega$ 的直径，$a_2(\Omega)$ 为 John 包络的第二个半轴长度。在平面情形下，对于 $k=1$，我们还给出了一个显式常数 $C(1,2)$ 的值。