Neumann特征值关于直径的最优上界

本文在两种密切相关的情况下获得了所有Neumann特征值的最优上界。首先我们考虑一维Sturm-Liouville特征值问题，其中密度函数$h(x)$的某次幂为凹函数。我们证明了$\mu_k(h)$极大元的存在性并完全刻画之。随后我们考虑给定直径的区域$\Omega\subset \mathbb{R}^d$的(拉普拉斯算子的)Neumann特征值，并假设其剖面函数(定义为垂直于某一直径的切片之$d-1$维测度)的某次幂亦为凹函数。这包括$\mathbb{R}^d$中凸域的情形，包含并推广了P. Kröger的先前结果。另一方面，在最后一节中，我们给出某些域的例子使得该上界不成立，表明一般而言$\sup D^2(\Omega)\mu_k(\Omega)= +\infty$。