不定加权 Neumann 问题中主特征值优化子的奇异分析

我们研究在一个有界光滑区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^{N}$ 中，与加权 Neumann 问题相关的正主特征值在一类适当的变号权重中的最小化问题。用 $u$ 表示最优特征函数，用 $D$ 表示其与最优权重相关的超水平集，我们对当 $D$ 的测度趋于零时最优特征值的奇异极限进行分析。我们证明，当 $D$ 的测度足够小时，$u$ 在 $\Omega$ 的边界上具有唯一的局部最大值点，且 $D$ 是连通的。此外，$D$ 的边界与区域 $\Omega$ 的边界相交，更精确地，对于某个普适常数 $C>0$，有 ${\mathcal H}^{N-1}(\partial D \cap \partial \Omega)\ge C|D|^{(N-1)/N}$。尽管这些性质被广泛预期，但如果 $D$ 的测度是任意的，它们仍然是未知的。