关于最大化障碍物补集的基本频率

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 为一个满足Hayman型非对称条件的有界域，并设 $D$ 为一个任意有界域，称为“障碍物”。我们关注第一Dirichlet特征值 $\lambda_1(\Omega \setminus (x+D))$ 的行为。首先，我们证明了 $\lambda_1(\Omega \setminus (x+D))$ 的一个上界，该上界用集合 $x+D$ 到 $\Omega$ 的第一Dirichlet基态 $\phi_{\lambda_1} > 0$ 的最大值点 $x_0$ 的距离表示。简而言之，一个直接的推论是，如果 \begin{equation} \mu_\Omega := \max_{x}\lambda_1(\Omega \setminus (x+D)) \end{equation} 相对于 $\lambda_1(\Omega)$ 足够大，那么 $\mu_\Omega$ 的所有最大化集合 $x+D$ 都靠近 $\phi_{\lambda_1}$ 的每个最大值点 $x_0$。其次，我们讨论了 $\phi_{\lambda_1(\Omega)}$ 的分布以及在 $\Omega$ 中给定点处内接波长球的可能性。最后，我们将观察结果具体化到凸障碍物 $D$，并证明如果 $\mu_\Omega$ 相对于 $\lambda_1(\Omega)$ 足够大，那么 $\mu_\Omega$ 的所有最大化集合 $x+D$ 都包含 $\phi_{\lambda_1(\Omega)}$ 的所有最大值点 $x_0$。