复合膜特征值优化中的对称性破缺及其他现象

我们考虑如下特征值优化问题：给定有界区域 $\Omega\subset\R^n$ 及数 $\alpha\geq 0$、$A\in [0,|\Omega|]$，寻找面积为 $A$ 的子集 $D\subset\Omega$，使得算子 $-\Delta + \alpha \chi_D$ 的第一 Dirichlet 特征值尽可能小。我们证明了解的存在性并研究其定性性质。例如，我们证明对某些对称区域（细环域与窄柄哑铃形区域），最优解必须具有比 $\Omega$ 更少的对称性；另一方面，对于凸的 $\Omega$，反射对称性得以保持。此外，我们给出数值结果并提出由这些结果所启示的若干猜想。