分数阶拉普拉斯复合膜问题中的最优构型与对称性破缺现象

我们考虑分数阶拉普拉斯复合膜问题中的如下特征值优化：给定有界区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$、$\alpha>0$ 以及 $0<A<|\Omega|$，寻找面积为 $A$ 的子集 $D\subset \Omega$，使得算子 $(-\Delta)^s+\alpha \chi_D$ 的第一 Dirichlet 特征值尽可能小。该解 $D$ 称为数据 $(\Omega,\alpha,A)$ 的最优构型。考察分数阶拉普拉斯著名的扩张定义，在 $s=1/2$ 情形下这本质上是复合膜问题，其中质量集中于边界，正如人们试图最大化 Steklov 特征值。我们证明解的存在性并研究最优构型 $D$ 的性质。这是一个自由边界问题，可表述为双侧不稳定障碍问题。此外，我们证明对于一些旋转对称区域（薄环域），最优构型并非旋转对称的，这意味着最优构型 $D$ 的非唯一性。另一方面，我们证明对于具有反射对称性的凸区域 $\Omega$，最优构型拥有相同的对称性，这意味着在球情形下最优构型 $D$ 的唯一性。