双连通平面区域极值第一 Dirichlet 特征值与二面体对称性

我们处理以下特征值优化问题：给定一个有界区域 $D\subset \R^2$，如何在 $D$ 内放置一个固定形状的障碍物 $B$，以最大化或最小化 $D\setminus B$ 上 Dirichlet Laplacian 的基本特征值 $\lambda_1$。这意味着我们要极化函数 $\rho\mapsto \lambda_1(D\setminus \rho (B))$，其中 $\rho$ 遍历使得 $\rho (B)\subset D$ 的刚体运动集合。我们在 $D$ 和 $B$ 都在二面体群 $\mathbb{D}_n$ ($n\ge2$) 作用下不变，且从原点到边界的距离作为两个对称轴之间角度的函数是单调的情况下回答了这个问题。极值构型对应于 $B$ 的对称轴与 $D$ 的对称轴重合的情况。