在圆盘内放置具有二面体对称性且中心位于给定点的障碍物以优化基本 Dirichlet 特征值

本文所考虑的形状优化问题的通用模型是带体积约束的拉普拉斯算子 Dirichlet 特征值的优化。我们处理一个障碍物放置问题，可表述为如下特征值优化问题：固定两个正实数 $r_1$ 和 $A$。考虑一个半径为 $r_1$ 的圆盘 $B\subset \mathbb{R}^2$。我们希望在 $B$ 内放置一个面积为 $A$ 的障碍物 $P$，以最大化或最小化 $B\setminus P$ 上拉普拉斯算子的基本 Dirichlet 特征值 $\lambda_1$。即，我们想研究函数 $\rho \mapsto \lambda_1(B\setminus\rho(P))$ 的行为，其中 $\rho$ 取遍所有保持 $P$ 质心固定且使得 $\rho(P)\subset B$ 的平面刚体运动。本文考虑一个非同心的障碍物放置问题。极值构型对应于 $P$ 的一条对称轴与 $B$ 的一条对称轴重合的情形。我们还在主要结果（即定理 4.1）中刻画了最大化与最小化构型。方程 (6)、命题 5.1 和 5.2 蕴含定理 4.1。我们给出了该结果的许多不同推广。最后，我们提供了一些数值证据来验证当障碍物 $P$ 具有 $\mathbb{D}_4$ 对称性时我们的主要定理。对于 $n$ 为奇数的情形，我们确定了 $\lambda_1$ 的一些极值构型。我们证明了方程 (6) 和命题 5.1 对奇数 $n$ 也成立。我们强调了在此情形下证明命题 5.2 所面临的一些困难。我们提供了 $n=5$ 时的数值证据，并猜想定理 4.1 对奇数 $n$ 也成立。