种群动力学中一个最优主 Dirichlet 特征值的渐近性质

我们考虑一个与生物物种持续阈值相关的形状优化问题，未知形状对应于有利于种群的栖息地区域。在分析上，这转化为关于 bang-bang 不定权重的 Dirichlet Laplacian 加权特征值的极小化。对于该问题，我们给出了有利区域体积趋于零的奇异扰动情形的完整描述，特别关注其位置与形状之间的相互作用。首先，我们证明最优有利区域收缩为一个连通的、近球形的集合（在 $C^{1,1}$ 意义下），其旨在最大化到致死边界的距离。其次，我们证明对于任意 $\alpha<1$，最优有利区域的球不对称性的衰减在 $C^{1,\alpha}$ 意义下关于其体积的负幂次是指数级的。后一性质基于全空间上加权特征值问题优化的尖锐定量不对称估计，这具有独立的意义。