带小体积障碍物的 Dirichlet Laplacian 第一特征值的最小化

我们考虑具有谱费用的著名形状优化问题：在所有具有给定体积且包含在固定盒子 $D$ 中的子域 $\Omega$ 之间，最小化 Dirichlet Laplacian 的第一特征值；等价地，我们寻找移除一个 Lebesgue 测度为 $|K|=\varepsilon$（$0<\varepsilon<|D|$）的紧集（障碍物）$K\subset\overline{D}$ 的最佳方式，以最小化集合 $\Omega = D \setminus K$ 的第一 Dirichlet 特征值。在小体积情形 $\varepsilon\to0$ 下，我们证明了最优障碍物在适当意义下聚集到 $\partial D$ 上 $|\nabla \phi_0|$ 最小的点，其中 $\phi_0$ 表示 $D$ 上 Dirichlet Laplacian 的第一特征函数。此外，我们对最优特征值、特征函数和自由边界的收敛提供了相当详细的描述。我们的结果基于用相对容量的适当概念对最优特征值的精确估计。