关于优化Dirichlet热迹的障碍物放置问题

我们证明，在所有由给定半径的两个球面界定的$\R^n$双连通区域中，具有Dirichlet边界条件的热核的迹$Z(t)$在球面同心（即球壳）时达到最小值。当内球面与外球面接触时达到上确界。这被证明是一个更一般定理的特例，该定理描述了凸域内球形障碍物的最优放置，以最大化或最小化Dirichlet热核的迹。在这种情况下，障碍物中心的最小化位置属于该区域的“心脏”，而最大化情况要么发生在心脏内部，要么发生在障碍物与外边界接触的点。对于任何可以通过$Z(t)$的正性保持或正性反转变换获得的谱性质，包括谱zeta函数以及通过它得到的正则化行列式，类似的陈述对于障碍物的最优位置也成立。