曲角域的热迹

平面多边形的热迹包含仅取决于开口角度的角项，而光滑平面域的热迹则沿边界包含曲率项。我们证明，对于曲线多边形，这两种现象在 $t^{1/2}$ 阶首次相互作用。我们计算此第一阶角-曲率热不变式并证明其 Dirichlet 边界条件下角度因子具有明确的符号律：其符号仅由该角是否为凸角或凹角决定。更具体地，我们推导了通过 $t^{1/2}$ 阶的局部热迹展开，适用于 Dirichlet 和 Neumann 边界条件。新的系数分解为常规光滑边界贡献以及每个仅取决于内部角 $\alpha$ 和相邻弧的一侧限制曲率 $\kappa_{\pm}$ 的局部曲线角项。在 Dirichlet 情况下，曲线角项的形式为 $C_{1/2}(\alpha,\kappa_+,\kappa_-) = c_{1/2}(\alpha)\frac{\kappa_+ + \kappa_-}{4\sin(\alpha/2)}$，其中 $c_{1/2}(\alpha)$ 给定为明确的圆柱面热核积分。我们确定其在每一个 $0<\alpha<2\pi$ 处的符号。符号律具有谱意义：它给出曲线多边形是否可能为 Dirichlet 等谱到直角多边形的新限制条件。特别是，每一个凸曲线多边形若要为 Dirichlet 等谱到直角多边形，必须本身为直角多边形，从而消除了 Enciso 和 G\'omez-Serrano 定理中直角假设。