热流、热含量与等参性质

设 $M$ 为黎曼流形，$\Omega$ 为 $M$ 中具有光滑边界的紧区域。我们研究 $\Omega$ 上热方程的解，该解具有常数单位初始条件和 Dirichlet 边界条件。本文旨在研究那些在任意固定时刻，解的法向导数（热流）在边界上为常数函数的区域的几何性质。我们将这一事实表述为这类区域具有常流性质（constant flow property）。在常曲率空间中，此类区域的已知示例由测地球以及更一般地由边界连通且为等参的区域给出。问题是：它们都是这样的吗？在本文中，我们对这个问题给出了肯定的回答：事实上，我们更一般地证明了，如果解析黎曼流形中的一个区域具有常流性质，那么其边界的每个分量都是一个等参超曲面。对于空间型，我们还将具有固定边界数据的热含量的消失阶与边界的 $r$-平均曲率的常性以及等参性质联系起来。最后，我们讨论了常流性质与其他涉及 Laplace 算子的著名超定问题（如 Serrin 问题或 Schiffer 问题）的关系。