超确定热方程的刚性与空间形式中的最小螺旋面

设$M$为黎曼流形，$\Omega$为$M$的光滑域。我们研究以下热扩散问题：假设初始温度在$\Omega$上均匀为$1$，而在其补集上为$0$。随后热量从$\Omega$向其补集扩散，我们关注正时间$t>0$下$\Omega$边界上的温度。特别是我们询问：是否存在域使得边界温度在所有正时间$t$和边界所有点上恒为常数$c$？若存在，他们的几何性质可如何描述？这典型属于过确定热方程问题。显然若$c$存在必为$\frac{1}{2}$，具有常数边界温度的域称为$\frac{1}{2}$性质。文献\cite{MPS06}和\cite{CSU23}表明，在$\mathbb{R}^3$上，此类域（在等价变换下）的边界仅为平面或（出乎意料地）右螺旋面。在本文中我们首先在广义意义下证明，具有$\frac{1}{2}$性质的域的边界必为最小曲面；随后以不同方法将上述分类从$\mathbb{R}^3$推广至其他三维空间形式。我们证明在$\mathbb{S}^3$中，$\frac{1}{2}$域的边界为全纯测地面或克里斯托弗环面；在双曲空间$\mathbb{H}^3$中，$\frac{1}{2}$域的边界为全纯测地面或嵌入的最小双曲螺旋面。（存在一参数族此类曲面）作为副产品，我们以不同方法将Nitsche关于均匀稠密域的论题从$\mathbb{R}^3$推广至三维空间形式。