Heisenberg群上的热方程：可观测性与应用

我们研究矩形区域 $$\Omega = (-1,1)\times\mathbb{T}\times\mathbb{T}$$ 上Heisenberg热方程的可观测性与Lipschitz稳定性，取观测区域为切片形式 $\omega=(a,b) \times \mathbb{T} \times \mathbb{T}$ 或管状区域 $\omega = (a,b) \times \omega_y \times \mathbb{T}$，其中 $-1<a<b<1$。我们证明对于任意时间 $T>0$ 可观测性均不成立，但在一个依赖于 $\omega$ 与 $\Omega$ 边界距离的正的最小时间之后，可观测性与Lipschitz稳定性均成立：$$T_{\min} \geqslant \frac{1}{8} \min\{(1+a)^2,(1-b)^2\}.$$ 我们的证明采用混合策略，将Lebeau与Robbiano基于Fourier分解的方法与由Fourier模式所满足的热方程的Carleman不等式相结合。我们将分析推广至无界区域 $(-1,1)\times\mathbb{T}\times\mathbb{R}$。