齐次热方程边值问题的极弱解

我们考虑 $\mathbb{R}^n$ 中区域 $\Omega$ 上的齐次热方程，具有零初值和 Dirichlet 边界条件。我们在 $W^{r,s}_{p,q}(\Omega\times(0,T))$ 中寻找解，其中 $r < 2$，$s < 1$，$1 \leq p < \infty$，$1 \leq q \leq \infty$。由于我们在 $L_{p,q}$ 框架下工作，因此无法进行边界数据的延拓和分部积分。因此，解以积分形式表示，并被称为\emph{极弱}解。关键估计在半空间中进行，并限制在 $L_q(0,T;W^{\alpha}_p(\Omega))$（$0 \leq \alpha < \frac{1}{p}$）和 $L_q(0,T;W^{\alpha}_p(\Omega))$（$\alpha \leq 1$）中。有界区域 $\Omega$ 中的存在性和估计源于扰动和不动点论证。