反向热方程的 Lipschitz 稳定性及其在荧光显微镜中的应用

本手稿的第二版在附录中包含了勘误，指出已发表版本中的一个错误，并为反向热传播问题的 Lipschitz 稳定性分析及其在光片荧光显微镜中的应用提供了替代结果。第一版摘要：在这项工作中，我们研究了在 $\mathbb{R}^n$ 中由正时间间隔上及包含其支集的开集上的测量值，重构热方程紧支集初始温度的 Lipschitz 稳定性结果。我们利用了热方程解对初始条件的显式依赖关系。借助 Carleman 估计，我们得到了当观测在外部区域 $\omega\times(\tau,T)$ 上进行、且未观测部分 $\mathbb{R}^n\backslash\omega$ 有界时的类似结果。在后一设定中，Carleman 估计方法在初始温度属于某容许集且无需支集紧性假设时，给出了一个一般的条件对数稳定性结果。此外，我们将这些结果应用于推导 $\mathbb{R}$ 中热方程的类似结果，其中测量在 $\mathbb{R}\times [0,\infty)$ 中的一条曲线上获得，并由此导出二维荧光显微镜中一类反问题的稳定性估计。为了进一步理解该 Lipschitz 稳定性，特别是其稳定性常数相对于测量噪声水平的大小，我们基于荧光显微镜反问题线性系统的构造给出了数值重构，并通过相应矩阵的条件数研究了稳定性常数。