关于热方程可观测集合维数的研究
偏微分方程分析
2025-07-23 v2 经典分析与常微分方程
复变函数
摘要
我们考虑在 中具有 Dirichlet 边界条件的有界 域上的热方程。本文的主要目标是证明：热方程可从任何 Hausdorff 维数严格大于 的可测集合中观测。该证明依赖于对线性组合的拉普拉斯本征函数的一种新型谱估计，通过马伟尼科娃 (Malinnikova) 所建立的 Cauchy-Riemann 系统解的小传播性来实现，并使用 Lebeau-Robbiano 方法。虽然该可观测性结果在 Hausdorff 维数尺度上是尖锐的，但我们的第二个目标是构造维数小于 的集合族，使得热方程仍然可从这些集合中观测。
引用
@article{arxiv.2407.20954,
title = {On the dimension of observable sets for the heat equation},
author = {A. Walton Green and Kévin Le Balc'h and Jérémy Martin and Marcu-Antone Orsoni},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.20954},
year = {2025}
}