热方程的小性传播与控制

在本注记中，我们研究热方程解的小性传播性质。我们考虑在带或不带边界的黎曼流形上具狄利克雷或诺伊曼边界条件的拉普拉斯算子的谱投影估计。我们证明，使用 Logunov-Malinnikova [7, 6, 8] 的小性传播新方法，可将 Jerison-Lebeau [3] 的谱投影型估计从开集上的局部化推广到任意非零勒贝格测度集合上的局部化；我们实际上可更进一步，考虑具有非消失的 d–$\delta$（$\delta$ > 0 足够小）豪斯多夫测度的集合。我们证明这些新的谱投影估计允许将 Logunov-Malinnikova 的小性传播结果推广到热方程的解。最后我们将这些结果应用于具有正勒贝格测度集合上局部化控制的热方程的零能控性。相对于先前结果的一个主要新颖之处是我们可以去掉拉普拉斯算子的常系数假设（见 [1, 2]）（或解析性假设，见 [4]）并处理利普希茨系数。另一个重要新颖之处是我们得到了首个（非一维的）控制支撑于零测度集合上的精确能控性结果。