椭圆方程解的小性定量传播

设 $u$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中具有 Lipschitz 系数的椭圆方程 $\text{div}(A\nabla u)=0$ 的解。假设在球 $B=\{|x|\leq 1\}$ 内 $|u|$ 以 $1$ 为界。我们证明，若在具有正 $n$ 维 Hausdorff 测度的集合 $E \subset \frac{1}{2} B$ 上 $|u| < \varepsilon$，则 $$\|u|\leq C\varepsilon^\gamma \text{ 于 } \frac{1}{2}B,$$ 其中 $C>0, \gamma \in (0,1)$ 不依赖于 $u$，而仅依赖于 $A$ 与 $E$ 的测度。我们以 Remez 型不等式的形式明确了对于 $E$ 测度的依赖关系。对于 Hausdorff 维数大于 $n-1$ 的集合 $E$，类似估计也成立。对于解的梯度，我们证明类似的小性传播在 Hausdorff 维数大于 $n-1-c$ 的集合上成立，其中 $c>0$ 是一个仅依赖于维数的小数值常数。