椭圆偏微分方程解临界集的体积估计

本文研究椭圆型线性方程 $L(u)=\partial_i(a^{ij}(x)\partial_j u) + b^i(x) \partial_i u + c(x) u=0$ 的解，定义域为 $R^n$ 或黎曼流形，并假设系数 $a^{ij}$ 满足 Lipschitz 控制。我们将注意力集中在临界集 $Cr(u)\equiv\{x:|\nabla u|=0\}$ 和奇异集 $S(u)\equiv\{x:u=|\nabla u|=0\}$，更重要的是它们的有效版本上。目前，在我们所假设的系数控制下，文献中最强的结果表明奇异集是 $n-2$ 维的，然而除非系数是光滑的，否则甚至尚未证明 $H^{n-2}(S)<\infty$。从根本上说，这是由于需要 $\epsilon$-正则性定理，而随着频率增加，该定理要求更高的系数控制。我们引入了估计临界集和奇异集的新技术，避免了对任何此类 $\epsilon$-正则性的需求。因此，我们证明了如果 $u$ 的频率以 $\Lambda$ 为界，那么我们有估计 $H^{n-2}(C(u))\leq C^{\Lambda^2}$，$H^{n-2}(S(u))\leq C^{\Lambda^2}$，具体取决于方程是否为临界的。更重要的是，我们证明了针对{\it有效}临界集和奇异集的相应估计。即使在解析系数的假设下，这些结果也比文献中现有的结果尖锐得多。我们还给出了该技术在解的节点集上的应用，并对相应的特征值问题给出了估计。