具有 Hölder 系数的椭圆方程奇点集与临界集的体积估计

考虑椭圆方程 $\mathcal{L}(u) = \partial_i(a^{ij}(x) \partial_j u) + b^i(x) \partial_i u + c(x) u= 0$ 的解 $u$,其中仅假设 $a^{ij}$ 为 Hölder 连续。本文中,我们针对奇点集 $\mathcal{S}(u) = \{ x \in B_1 : u(x) = |\nabla u(x)| = 0\}$ 和临界集 $\mathcal{C}(u) \equiv \{ x\in B_{1} : |\nabla u(x)| = 0 \}$ 证明了依赖于倍增指数上界(取决于 $c \equiv 0$ 与否)的 $(n-2)$ 维 Minkowski 估计的显式界。此处 Hölder 假设是最优的,因为根据椭圆估计,它是定义 $u$ 的临界集所需的最弱条件。我们还能改进 Cheeger-Naber-Valtorta 在各定量层 $\mathcal{S}^k_{\eta, r}$ 上的体积估计至最优。这种情况下的主要困难在于缺乏对定量分层至关重要的单调性公式。在我们证明中,一个关键要素是在 Hölder 假设下倍增指数的新近单调性公式。另一个关键要素是切映射的定量唯一性。值得注意的是,我们的近单调性足以解决微分方程分析中因缺乏单调性而产生的所有困难。我们相信该思想可应用于其他相关研究。