周期齐次化中椭圆方程解的关键集

本文研究具有快速振荡周期系数的二阶散度型椭圆方程解 $u_\e$ 的关键集。我们证明，在解的倍数指标有界的前提下，关键集的 $(d-2)$ 维 Hausdorff 测度关于周期 $\e$ 一致有界。关键步骤是：当解 $u_\e$ 在球面 $\partial B(0, r)$ 上的倍数指标介于 $\ell -\delta$ 与 $\ell +\delta$ 之间，且 $r$ 在 $1$ 与最小半径 $r^*\ge C_0\e$ 之间时，对非恒定解 $u_\e$ 到 $\ell$ 阶球谐函数子空间上投影的“转向”估计。该估计通过连续使用调和逼近证明。借助适当的 $L^2$ 重整化与重标度，我们能够控制由齐次化和投影引入的累积误差。我们的证明也给出了关键集 Minkowski 内容的统一界。