线性椭圆方程的随机均匀化：基于二阶校正子的弱范数高阶误差估计

我们研究具有随机系数场的二阶线性椭圆方程的均匀化问题。对于仅具有短程相关性的对称系数场（通过集合的对数 Sobolev 不等式进行量化），我们证明了在弱空间范数下度量时，均匀化方程的解为具有振荡系数的方程的解提供了高阶近似。在非对称系数场的情况下，我们利用常系数方程的解，给出了具有振荡系数的方程解的高阶近似（在弱空间范数下）。在两种设定下，我们还为截断至二阶的双尺度展开提供了最优误差估计。我们的结果依赖于对二阶均匀化校正子的新估计，这是通过对二阶校正子的灵敏度估计以及具有随机系数的椭圆方程的大尺度 $L^p$ 理论建立的。我们的结果同样适用于椭圆系统。