非线性一致椭圆型方程与方程组随机均匀化的最优均匀化速率

我们导出了具有单调非线性的随机非线性椭圆型 PDE 在一致椭圆情形下的优阶均匀化速率。更确切地说，对于 $\mathbb{R}^d$ 上具平稳律（即空间齐次统计）且在大于微观尺度 $\varepsilon>0$ 的尺度上关联快速衰减的随机单调算子，我们建立了在 $d\geq 3$ 情形下阶为 $\varepsilon$ 的均匀化误差估计，以及在 $d=2$ 情形下阶为 $\varepsilon |\log \varepsilon|^{1/2}$ 的估计。非线性随机均匀化中的先前结果仅限于小的代数收敛率 $\varepsilon^\delta$。我们还建立了用代表体元法近似均匀化算子的误差估计，对尺寸为 $L$ 的代表体元其阶为 $(L/\varepsilon)^{-d/2}$。我们的结果在方程组情形下也成立，只要其具备（小尺度）$C^{1,\alpha}$ 正则性理论。