椭圆方程的临界集

给定具有 Lipschitz 系数的线性齐次二阶椭圆方程的解 $u$，我们引入了用于给出临界集 $\Cr(u)\equiv \{x:|\nabla u|(x)=0\}$ 改进估计的技术。即使对于 $\dR^n$ 上的调和函数，这些结果也是新的。对于此类 $u$，标准的{\it 一阶} 分层 $\{\cS^k\}$ 根据 $u-u(x)$ 的前导阶多项式的对称度来区分点 $x$。在本文中，我们给出了 $u$ 的定量分层 $\{\cS^k_{\eta,r}\}$，它根据 $u$ 在不同尺度下的{\it 近似} 前导阶多项式的{\it 几乎} 对称数量来区分点。我们证明了每个 $\cS^k_{\eta,r}$ 的管状邻域体积的有效估计，这直接导出了 $u$ 临界集的 $(n-2+\epsilon)$-Minkowski 容度估计。通过对方程系数附加一些正则性假设，我们将该估计 refine 为 $u$ 临界集上的一致 $(n-2)$-Hausdorff 测度估计。