超临界半线性椭圆方程的定量分层与锐利正则性估计

本文研究了超临界非线性椭圆方程 $$-\Delta u=|u|^{p-1}u\quad\text{in }\Omega,\quad p>\frac{n+2}{n-2},$$ 的平稳解的内部正则性理论，其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 为有界域，且 $n\geq 3$。我们的主要关注点是奇异集的分层结构。我们基于切向函数和测度定义解 $u$ 的第 $k$ 级分层 $S^k(u)$。我们证明 $S^k(u)$ 的 Hausdorff 维数至多为 $k$，且 $S^k(u)$ 为 $k$-rectifiable，并建立了与具有下界正规尺度点相关的体积估计。这些估计使我们能够推导解的锐利内部估计。具体而言，若 $\alpha_p=\frac{2(p+1)}{p-1}$ 非整数，则对任意 $j\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$，都有 $$D^ju\in L_{\operatorname{loc}}^{q_j,\infty}(\Omega),$$ 这意味着对任意 $\Omega'\subset\subset\Omega$，都有 $$\sup\{\lambda>0:\lambda^{q_j}\mathcal{L}^n(\{x\in\Omega':|D^ju(x)|>\lambda\}\}<+\infty,$$ 其中 $\mathcal{L}^n(\cdot)$ 为 $n$ 维 Lebesgue 测度，$$q_j=\frac{(p-1)(\lfloor\alpha_p\rfloor+1)}{2+j(p-1)},$$ 其中 $\lfloor\alpha_p\rfloor$ 为 $\alpha_p$ 的整数部分。本文的结果依赖于 A. Naber 和 D. Valtorta 用于研究调和映射分层的 Reifenberg 类型定理。