非局部椭圆方程的精细正则性及其应用

在本文中，我们为分数阶泊松方程 $$(-\Delta)^s u(x) =f(x),\,\, x\in B_1(0)$$ 的非负解建立了精细的正则性估计。具体来说，我们推导了任意非负解 $u$ 的 Hölder、Schauder 和 Ln-Lipschitz 正则性估计，仅需假设 $u$ 的局部 $L^\infty$ 范数有界。这些估计与现有结果形成鲜明对比，现有结果要求 $u$ 的全局 $L^\infty$ 范数有界。我们的发现表明，解 $u$ 和 $f$ 的局部值足以控制 $u$ 的高阶导数的局部值。值得注意的是，这使得通过爆破和重缩放论证在无界域上建立先验估计成为可能。作为应用，我们推导了无界域中一些超线性非局部问题解的奇异性和衰减估计，特别是，我们获得了 $\mathbb{R}^n$ 中一族分数阶 Lane-Emden 型方程的先验估计。这是通过采用一种使用辅助函数的不同方法实现的，该方法适用于局部和非局部问题。