关于椭圆方程在下维流形上退化的 Schauder 估计

本文开始探索椭圆方程的局部正则性理论，这些方程的系数在某些下维流形上是退化或奇异的：$$-mathrm{div}(|y|^aA(x,y)nabla u)=|y|^af+mathrm{div}(|y|^aF)qquadmathrm{in\ } B_1subsetmathbb R^d,$$其中 $z=(x,y)inmathbb R^{d-n}timesmathbb R^n$，$2leq nleq d$ 为两个整数和 $ainmathbb R$。此类方程是原型性的椭圆方程 examples，它们在可能非常薄的特征流形 $\Sigma_0=\{|y|=0\}$ 上失去均匀 ellipticity，维数 $0leq d-nleq d-2$，具有 $$lambda|y|^a|xi|^2leq |y|^aA(x,y)xicdotxileqLambda|y|^a|xi|^2。$$ 在 $a+n>0$ 的情况下，具有齐次共轭边界条件的弱解被证明为 $C^{0,alpha}$ 或甚至 $C^{1,alpha}$ 正则，直至 $\Sigma_0$。我们的 approach 依赖于一种 regularization-approximation scheme，它使用 domain perforation、very fine blow-up procedures 和 perforated space 中的 new Liouville 定理。我们的理论推广到在适当光滑曲线流形上退化的方程的情况。