退化椭圆方程的局部梯度估计

本文关注形式为 $\text{div}[\mathbf{a}(x,u, \nabla u)] +b(x, u, \nabla u) =0$ 的退化椭圆方程弱解的局部内部 $W^{1,\infty}$-正则性，其包含 $p$-Laplacian 类型。我们推导了解梯度的局部 $L^\infty$-范数通过其局部 $L^p$-范数的显式估计。具体地，我们证明 \begin{equation*} \|\nabla u\|_{L^\infty(B_{\frac{R}{2}}(x_0))}^p \leq \frac{C}{|B_R(x_0)|}\int_{B_R(x_0)}|\nabla u(x)|^p dx. \end{equation*} 该估计为我们后续建立针对更大一类拟线性椭圆方程弱解的 $W^{1,q}$-估计（对于 $q>p$）的工作铺平了道路。